КК - керування квантовими обчисленнями з унітарними операторами, втручання та заплутування

Фото Сагар Дані

Чудово. Ми щойно закінчили Частину 2 на Qubit (Квантовий біт - основний будівельний блок для квантових обчислень). То як ми можемо це контролювати? На відміну від класичних обчислень, ми не застосовуємо логічні операції або загальну арифметику на кубітах. У квантових обчисленнях не існує "while statement" або "твердження розгалуження". Натомість ми розробляємо унітарні оператори для маніпулювання кубітами з принципом інтерференції в квантовій механіці. Звучить фантазії, але насправді дуже прямолінійно. Ми розглянемо концепцію унітарних операторів. В якості побічної ноти ми розглянемо її зв’язок із рівнянням Шредінгера, тому ми не розробляємо поняття проти природи. Нарешті ми розглядаємо заплутаність, містичне квантове явище.

Квантові ворота

У класичних комп'ютерах ми застосовуємо основні логічні оператори (NOT, NAND, XOR, AND, OR) на бітах для складання складних операцій. Наприклад, нижче є однорозрядний суматор з перенесенням.

Квантові комп'ютери мають абсолютно різні основні оператори, які називаються квантовими воротами. Ми не перекомпілюємо існуючу програму C ++ для роботи на квантовому комп'ютері. Обидва мають різні оператори, і для квантових обчислень потрібні різні алгоритми, щоб скористатися ними. У квантових обчисленнях мова йде про те, щоб маніпулювати кубітами, заплутати їх і виміряти. Повернемося до сфери Блоха. Концептуально операції квантових обчислень маніпулюють Φ і θ суперпозиції для переміщення точок по поверхні одиничної сфери.

Математично кажучи, суперпозиція маніпулюється лінійним оператором U у вигляді матриці.

Для одного кубіта оператор - це просто матриця 2 × 2.

Рівняння Шредінгера (необов'язково)

Природа здається наївно простою! Математика - це просто лінійна алгебра, яку ми вивчаємо в середній школі. Між вимірюваннями станами керують лінійні оператори, що використовують матричне множення. При вимірюванні суперпозиція руйнується. Як не дивно, лінійність - головне розчарування для шанувальників наукової фантастики. Це загальна властивість квантової динаміки. Інакше подорож у часі чи подорож швидше, ніж світло, - це все можливе. Якщо ми почнемо з цього лінійного оператора (точний єдиний оператор), ми можемо отримати рівняння Шродінгера, наріжний камінь квантової механіки в описі того, як стани розвиваються в квантовій механіці. З протилежного погляду рівняння Шродінгера робить висновок про лінійність природи.

Джерело

Тут ми можемо переписати рівняння Шродінгера як

де Н - ермітик. Він демонструє, як держави розвиваються в природі лінійно.

Рівняння є лінійним, тобто якщо обидва ψ1 і ψ2 є дійсними рішеннями для рівняння Шродінгера,

його лінійна комбінація - загальне рішення рівняння.

Якщо | 0⟩ і | 1⟩ можливі стани системи, то її лінійною комбінацією буде загальний стан - такий принцип суперпозиції в квантових обчисленнях.

Унітарна

Наш фізичний світ не дозволяє всіх можливих лінійних операторів. Оператор повинен бути унітарним і відповідати наступним вимогам.

де U † - транспонований, складний кон'югат U. Наприклад:

Математично, унітарний оператор зберігає норми. Це чудова властивість утримувати загальну ймовірність, рівну одиниці після перетворення стану, і зберігати суперпозицію на поверхні одиничної сфери.

Якщо ми розглянемо рішення рівняння Шродінгера нижче, природа підкоряється тому самому унітарному правилу. Н - ермітик (транспонований складний кон'югат ермітянина дорівнює собі). Помноження оператора на його транспонований складний кон'югат дорівнює матриці ідентичності.

Далі наводиться приклад Н, де є однакове магнітне поле E₀ у напрямку z.

Застосування унітарної операції до | ψ⟩ призводить до обертання по осі z.

Але яке справжнє значення унітарного в реальному світі? Це означає, що операції оборотні. Для будь-якої можливої ​​операції існує ще одна, яка може скасувати дію. Як і при перегляді фільму, ви можете відтворювати його вперед, і природа дозволяє його колезі U † відтворювати відео назад. Дійсно, ви можете не помітити, чи відтворюєте ви відео вперед або назад. Майже всі фізичні закони є зворотними. Нечисленні винятки включають вимірювання квантової динаміки та другий закон термодинаміки. При розробці квантового алгоритму це дуже важливо. Ексклюзивна операція АБО (XOR) у класичному комп’ютері не є оборотною. Інформація втрачається. З огляду на вихід 1, ми не можемо розрізнити, вихідний вхід (0, 1) або (1, 0).

У квантових обчисленнях ми називаємо оператори квантовими воротами. Коли ми розробляємо квантові ворота, ми переконуємося, що вони є єдиними, тобто з'явиться ще один квантовий затвор, який може повернути стан до його початкового. Це важливо, оскільки

якщо оператор є унітарним, він може бути реалізований у квантовому комп'ютері.

Після того, як унітарія буде доведена, у інженерів не повинно виникнути проблем щодо її впровадження, принаймні теоретично. Наприклад, комп’ютери IBM Q, що складаються з надпровідних схем, використовують мікрохвильові імпульси різної частоти та тривалості для управління кубітами вздовж поверхні сфери Блоха.

Для досягнення єдиної форми ми іноді виводимо частину вкладених даних для задоволення цієї вимоги, як, наприклад, наведена нижче, навіть вона виглядає зайвою.

Давайте побачимо один із найпоширеніших квантових воріт - хвірт Адамара, лінійний оператор якого визначається як наступна матриця.

або в позначенні Дірака

Коли ми застосуємо оператора до стану спину вгору або вниз, ми змінюємо суперпозиції на:

Якщо його виміряти, обидва мають рівні шанси накрутитися чи повернутись вниз. Якщо ми знову застосуємо ворота, він повернеться до початкового стану.

Джерело

тобто транспонований кон'югат Адамара є самими воротами Адамара.

Коли ми застосуємо UU †, він відновиться до початкового вводу.

Тому ворота Адамара є унітарною.

Квантові обчислення базуються на перешкодах і заплутаності. Хоча ми можемо зрозуміти квантові обчислення математично, не розуміючи цих явищ, давайте продемонструємо це швидко.

Перешкоди

Хвилі заважають одна одній конструктивно чи руйнівно. Наприклад, вихід може бути збільшений або згладжений залежно від відносної фази вхідних хвиль.

Яка роль інтерференції в квантових обчисленнях? Давайте проведемо кілька експериментів.

Інтерферометр Mach Zehnder (джерело)

У першому експерименті ми готуємо всі вхідні фотони до стану поляризації | 0⟩. Цей потік поляризованих фотонів рівномірно розділений положенням розбивача променя B при 45 °, тобто він розділить промінь на два ортогонально поляризовані вогні і вийде окремими шляхами. Потім ми використовуємо дзеркала для відображення фотонів до двох окремих детекторів і вимірюємо інтенсивність. З точки зору класичної механіки, фотони розбиваються на два окремі контури і рівномірно вражають детектори.

У другому вище експерименті ми ставимо ще один розбивач променя перед детекторами. За інтуїцією розгалужувачі променя працюють незалежно один від одного і розщеплюють світловий потік на дві половини. Обидва детектори повинні виявити половину світлових променів. Ймовірність потрапляння фотона на детектор D₀ за допомогою 1-го шляху червоного кольору:

Загальний шанс фотона досягти D₀ - це 1/2 від 1-го або 0-шляху. Так обидва детектори виявляють половину фотонів.

Але це не відповідає експериментальному результату! Тільки D₀ виявляє світло. Проведемо моделювання переходу стану для розбивача променя з воротами Адамара. Отже, для першого експерименту стан фотонів після розгалужувача є

Коли його виміряти, половина з них становитиме | 0⟩, а половина - | 1⟩. Світлові промені поділяються рівномірно на дві різні стежки. Тож наші ворота Адамара будуть відповідати класичному розрахунку. Але давайте подивимося, що сталося у другому експерименті. Як показано раніше, якщо ми підготуємо всі вхідні фотони до | 0⟩ та передамо їх у два ворота Адамара, всі фотони знову будуть | 0⟩. Отже, коли він вимірюється, тільки D₀ виявить світловий промінь. Жоден не досягне D₁, якщо ми не проведемо жодного вимірювання перед обома детекторами. Експерименти підтверджують, що квантовий розрахунок є правильним, а не класичним. Подивимося, як інтерференція відіграє певну роль тут, у другій брамі Адамара.

Як показано нижче, компоненти однієї бази обчислень конструктивно або деструктивно перешкоджають одне одному для отримання правильного експериментального результату.

Ми можемо підготувати вхідний фотонний промінь до | 1⟩ і повторити обчислення ще раз. Стан після першого розгалужувача відрізняється від вихідного фазою π. Тож якщо ми виміряємо зараз, обидва експерименти проведуть однакові вимірювання.

Однак при повторному застосуванні ворота Адамара один створить | 0⟩, а один створить | 1⟩. Втручання створює складні можливості.

Дозвольте зробити ще один цікавий експеримент, який має дуже суттєвий вплив на кібербезпеку.

Якщо ми поставимо інший детектор Dx після першого розгалужувача, експеримент показує, що обидва детектори виявлять зараз половину фотонів. Чи відповідає це обчисленням в квантовій механіці? У рівнянні нижче, коли ми додаємо вимірювання після першого розгалужувача, ми змушуємо колапс суперпозиції. Кінцевий результат буде іншим, ніж один без додаткового детектора, і відповідатиме експериментальному результату.

Природа каже нам, що якщо ви знаєте, який шлях проходить фотон, обидва детектори виявлять половину фотонів. Насправді ми можемо досягти цього лише за допомогою одного детектора лише в одному з контурів. Якщо перед обома детекторами не проводиться вимірювання, всі фотони потрапляють у детектор D₀, якщо фотон готовий бути | 0⟩. Знову інтуїція призводить нас до неправильного висновку, поки квантові рівняння залишаються довірливими.

Це явище має одне критичне значення. Додаткове вимірювання руйнує початкове втручання в нашому прикладі. Стан системи змінюється після вимірювання. Це одна з ключових мотивацій квантової криптографії. Ви можете розробити такий алгоритм, що якщо хакер перехопить (виміряє) повідомлення між вами та відправником, ви зможете виявити таке вторгнення незалежно від того, наскільки щадним може бути вимірювання. Тому що схема вимірювання буде іншою, якщо вона буде перехоплена. Теорема про клонування в квантовій механіці стверджує, що не можна точно дублювати квантовий стан. Тож хакер також не може дублювати та надсилати оригінальне повідомлення.

Поза квантовим моделюванням

Якщо ви фізик, ви можете скористатися поведінкою інтерференції в квантових воротах, щоб імітувати ту саму інтерференцію в атомних світах. Класичні методи працюють з теорією ймовірностей зі значеннями більшими або рівними нулю. Це передбачає незалежність, що не відповідає дійсності в експериментах.

Квантовий механізм стверджує, що ця модель помилкова і вводить модель зі складними і від’ємними числами. Замість використання теорії ймовірностей вона використовує перешкоди для моделювання проблеми.

То яка користь приносить нефізику? Втручання може трактуватися як той самий механізм, що й унітарний оператор. Це легко реалізувати в квантовому комп'ютері. Математично єдиний оператор є матрицею. Зі збільшенням кількості кубітів ми отримуємо експоненціальне зростання коефіцієнтів, з якими ми можемо грати. Цей унітарний оператор (втручання в око фізика) дозволяє нам маніпулювати всіма цими коефіцієнтами в одній операції, що відкриває двері для масових маніпуляцій з даними.

Заплутування

Взагалі, вчені вважають, що без заплутування квантові алгоритми не можуть виявити перевагу над класичними алгоритмами. На жаль, ми не дуже добре розуміємо причини, а тому не знаємо, як налаштувати алгоритм, щоб скористатися його повним потенціалом. Ось чому заплутаність часто згадується при впровадженні квантових обчислень, але не набагато згодом. З цієї причини ми пояснимо, що таке заплутування в цьому розділі. Сподіваємось, що ви вчений, щоб порушити таємницю.

Розглянемо суперпозицію 2-кубітів.

де | 10> означає, що дві частинки знаходяться в спині вниз і вгору відповідно.

Розглянемо наступний складений стан:

Чи можемо ми розділити складений стан на два окремих стани, як,

Ми не можемо, оскільки це вимагає:

Квантова механіка демонструє одну неінтуїтивну концепцію. У класичній механіці ми вважаємо, що розуміння всієї системи можна зробити, добре розуміючи кожну підкомпонент. Але в квантовій механіці,

Як показано раніше, ми можемо моделювати складений стан і робити прогнози вимірювань ідеально.

Але ми не можемо описати або зрозуміти це як два незалежні компоненти.

Я уявляю цей сценарій, коли пара вийшла заміж за 50 років. Вони завжди домовляться, що робити, але ви не можете знайти відповіді, коли ставляться до них як до окремих осіб. Це надто спрощений сценарій. Існує багато можливих станів заплутування

і їх буде набагато складніше описати, коли кількість кубітів зросте. Виконуючи квантові операції, ми знаємо, як компоненти співвідносяться (заплутуються). Але перед будь-яким вимірюванням точні значення залишаються відкритими. Заплутування створює кореляції, які набагато багатші та, ймовірно, набагато складніші для класичного алгоритму, щоб імітувати ефективно.

Далі

Тепер ми знаємо, як маніпулювати кубітами за допомогою унітарних операцій. Але для тих, хто цікавиться квантовими алгоритмами, ми повинні спершу знати, що таке обмеження. В іншому випадку ви можете не помітити, які речі важкі в квантових обчисленнях. Але для тих, хто хоче дізнатися більше про квантові ворота першими, ви можете прочитати другу статтю перед першою.